Logika Matematika

Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.

Misalkan P(n) adalah pernyataan
: adalah bilangan ganjil
dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Sebagai contoh, jika n = 1, kita peroleh proposisi
1 adalah bilangan ganjil
bernilai benar. Jika n = 2, kita peroleh proposisi
2 adalah bilangan ganjil
bernilai salah.

Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

Kuantor Universal
Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. Pernyataan
ntuk setiap x, P(x)
dikatakan pernyataan kuantor universal. Pernyataan itu dapat dinyatakan dengan simbol sebagai

di mana simbol berarti “untuk setiap”. Simbol disebut kuantor universal.
Pernyataan adalah benar jika P(x) benar untuk setiap x di D. Dan pernyataan adalah salah jika P(x) salah untuk sedikitnya satu x di D. Sebuah nilai x di D yang membuat P(x) salah disebut contoh penentang (counter exemple) bagi pernyataan .

Catatan :
Cara lain untuk menuliskan untuk setiap x, P(x) adalah untuk semua x, P(x) dan untuk sembarang x, P(x).

Contoh :
Tulislah setiap pernyataan yang diberikan dengan simbol.
a. Untuk setiap x,
b. Untuk semua x, jika x>1 maka x2>1

Penyelesaian :
a.
b.

Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal pembicaraannya adalah himpunan bilangan real.
a. Untuk setiap x,
b. Untuk semua x, x2-1>0

Penyelesaian :
a. Pernyataan tersebut benar karena untuk setiap bilangan real x, adalah benar bahwa kuadrat x bernilai positif atau benar.
b. Pernyataan tersebut salah karena jika x = 1 maka proposisi 12-1 >0 salah.

Kuantor Eksistensial

Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. Pernyataan
ntuk beberapa x, P(x)
dikatakan pernyataan kuantor eksistensial. Pernyataan itu dapat dinyatakan dengan simbol sebagai

di mana simbol berarti “untuk beberapa”. Simbol disebut kuantor eksistensial
Pernyataan adalah benar jika P(x) benar untuk sedikitnya satu x di D. Dan pernyataan adalah salah jika P(x) salah untuk setiap x di D.

Catatan :
Cara lain untuk menuliskan untuk beberapa x, P(x) adalah untuk paling sedikit satu x, P(x) dan terdapat x yang sedemikian, sehingga P(x).

Contoh :
Tulislah setiap pernyataan yang diberikan dengan simbol.
a. Untuk beberapa x, .
b. Untuk paling sedikit satu x, jika x>1 maka x2>1.
c. Untuk setiap x, untuk beberapa y, x2
Penyelesaian :
a.
b.
c.

Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal pembicaraannya adalah himpunan bilangan real.
a. Untuk beberapa x, x+1 > 0
b. Untuk paling sedikit satu x, x2<0

Penyelesaian :
a. Pernyataan tersebut benar karena jika x = 2 maka proposisi 2+1 >0 benar.
b. Pernyataan tersebut salah karena untuk setiap bilangan real x, adalah salah bahwa kuadrat x bernilai negatif.

Memperumum Hukum De Morgan untuk Logika

Jika P sebuah fungsi proposisi, setiap pasangan pada a) dan b) berikut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
a)

Contoh :
Tuliskan negasi dari masing-masing proposisi yang diberikan.
a. Untuk setiap x, x2>x
b. Untuk beberapa x, x2>x

Penyelesaian :
a. Untuk beberapa x, tidak benar bahwa x2>x.
b. Untuk setiap x, tidak benar bahwa x2>x.

Posted in: logika matematika